Syn Antoniego Cząstki i Salomei Mercik, urodzony w 1905 r. w Krościenku Niżnym [obecnie w granicach administracyjnych miasta Krosna]. Kwalifikacje nauczycielskie zdobywał podczas nauki w Seminarium Nauczycielskim Męskim w Krośnie oraz w Instytucie Nauczycielskim w Katowicach.

Józef Cząstka jako 15 letni chłopak zawyżył swój wiek przed komisją poborową i został uczestnikiem w wojnie polsko – bolszewickiej w 1920 r. We wrześniu 1939 r. brał czynny udział w wojnie obronnej. Po ucieczce z niewoli niemieckiej przedostał się do rodzinnego Krosna, aby zaangażować się tu w działalność konspiracyjną. Przyczynił się do zorganizowania drukarni i kolportażu pierwszej konspiracyjnej gazety „Reduta”.Został pierwszym komendantem Obwodu Związku Walki Zbrojnej w Krośnie. Pełniąc tą funkcję kierował działalnością konspiracyjną, obsadzając na wielu stanowiskach nauczycieli – oficerów rezerwy. W 1941 r. pełnił funkcję oficera łącznikowego Sztabu Inspektoratu Związku Walki Zbrojnej w Jaśle. Nawiązał także współpracę z Tajną Organizacją Nauczycielską i zaangażował się do tajnego nauczania w Krośnie i okolicach. Prowadził dziewięcioosobowy zespół w zakresie programu nauczania starszych klas szkoły powszechnej oraz szkoły zawodowej. W 1943 r. został komendantem Obwodu Armii Krajowej Brzozów.

Od 1925 r. aż do przejścia na emeryturę w 1970 r., nie włączając w ten okres czasów II wojny światowej, Józef Cząstka związany był zawodowo ze szkolnictwem na terenie Górnego Śląska.

Józef Cząstka w stroju księdza, fotografia wykonana w czasie wojny
[w takim przebraniu przewoził często meldunki z Krosna do Krakowa]

W okresie międzywojennym pracował w szkolnictwie powszechnym w powiatach katowickim, rybnickim oraz lublinieckim. Po wojnie powrócił na Śląsk gdzie sprawował funkcję kierownika szkoły podstawowej w Rudzie Śląskiej - Bielszowicach. Dzięki jego zabiegom wybudowano nowy budynek tamtejszej szkoły.

Józef Cząstka zmarł w 1988 r. w Rudzie Śląskiej i tam został pochowany. Był wybitnym pedagogiem, organizatorem tajnego nauczania, a jako oficer Wojska Polskiego i Armii Krajowej zasłużył się w walce o wolną ojczyznę. Wśród licznych odznaczeń Józefa Cząstki do najważniejszych należą:  Medal za Wojnę 1920 r., Medal za Udział w Wojnie Obronnej w 1939 r., Krzyż Walecznych, Złoty Krzyż Zasługi z Mieczami, Krzyż AK Krzyż Partyzancki, Krzyż Kawalerski Orderu Odrodzenia Polski, Medal Komisji Edukacji Narodowej.